点到平面的距离公式

原创

已于 2022-08-09 10:15:47 修改

·

2.5k 阅读

·

0

·

3

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

文章标签：

#算法

#机器学习

#线性代数

#图形渲染

于 2022-08-05 19:17:50 首次发布

本文详细介绍了如何计算点到平面的距离，包括定义点和平面、平面方程的归一化、平移至原点的过程，以及点到平面距离的公式推导。通过点乘法和归一化平面方程，得出距离公式 QP=Q⋅N′+D′，并提供了一个在线3D计算器GeoGebra以辅助理解和实践。

定义点和平面

假设空间中存在一个点 Q Q Q，向量表示为： Q = ( x , y , z ) Q = (x, y, z) Q=(x,y,z) 空间中一个平面 P P P，方程为： A x + B y + C z + D = 0 (1) Ax + By + Cz + D = 0 \tag{1} Ax+By+Cz+D=0(1) 其中由系数组成的向量 ( A , B , C ) (A, B, C) (A,B,C) 可以认为是平面 P P P 的法向量。

平面方程归一化

归一化后的平面方程变为 A ′ x + B ′ y + C ′ z + D ′ = 0 (2) A'x + B'y + C'z + D' = 0 \tag{2} A′x+B′y+C′z+D′=0(2) 其中 A ′ = A A 2 + B 2 + C 2 B ′ = B A 2 + B 2 + C 2 C ′ = C A 2 + B 2 + C 2 D ′ = D A 2 + B 2 + C 2 A' = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \\[2ex] B' = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \\[2ex] C' = \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \\[2ex] D' = \frac{D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} A′=A2+B2+C2

​