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更多信息：二次方程 § 一元二次方程
一元二次方程式是只含有一个未知數，并且未知數的最高次數是二次的多項式方程。
例如，
x
2
−
3
x
+
2
=
2
{\displaystyle x^{2}-3x+2=2}
，
(
3
−
2
i
)
x
2
+
23
−
6
i
π
x
−
sin
2
=
0
{\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}
，
t
2
−
3
=
0
{\displaystyle t^{2}-3=0}
等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}
其中，
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}}
是二次项，
b
x
{\displaystyle bx}
是一次项，
c
{\displaystyle c}
是常数项。
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。
历史[编辑]
古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。
11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言：解关于
x
{\displaystyle x}
的方程
a
x
2
+
b
x
=
−
c
{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即[1]
4
a
{\displaystyle 4a}
，得
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
=
−
4
a
c
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}
在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即
b
2
{\displaystyle b^{2}}
，得
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
=
−
4
a
c
+
b
2
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}
然后在方程的两边同时开二次方根，得
2
a
x
+
b
=
±
−
4
a
c
+
b
2
2
{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}
解法[编辑]
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c}
三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般来说，一元二次方程有两个根。
因式分解法[编辑]
把一个关于
x
{\displaystyle x}
一元二次方程变形成一般形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
后，如果
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
存在两个实根
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
，那么它可以因式分解为
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
0
{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}
。
例如，解一元二次方程
x
2
−
3
x
+
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x+2=0}
时，可将原方程左边分解成
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}
，所以
x
−
1
=
0
x
−
2
=
0
{\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}
，可解得
x
1
=
1
x
2
=
2
{\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}
公式解法[编辑]
对于
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}
，若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}
，则它的两个不等实数根可以表示为
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
,
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}
，则它的两个相等实数根可以表示为
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}
，则它的两个共轭复数根可以表示为
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
。
公式解的证明[编辑]
公式解可以由配方法得出。
已知关于
x
{\displaystyle x}
的一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0}
①移项，得：
a
x
2
+
b
x
=
−
c
{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}
；
②二次项系数化为
1
{\displaystyle 1}
，得：
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}
；
③配方，得：
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}}
，
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}
；
因为
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
，所以
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0}
，则它的两个不等实数根可以表示为
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
,
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0}
，则它的两个相等实数根可以表示为
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}
；
若
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0}
，则它的两个共轭复数根可以表示为
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
。
一般化[编辑]
一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
公式中的根式
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}
應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。
根的判别式[编辑]
对于实系数一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}
，
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}
称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：
如果
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且
Δ
{\displaystyle \Delta }
是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。
如果
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}
如果
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为
x
1
=
−
b
2
a
+
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
,
x
2
=
−
b
2
a
−
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
a
i
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}}
，其中
i
=
−
1
{\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}}
。
非实系数一元二次方程[编辑]
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
一元二次方程的根与系数的关系[编辑]
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
+
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
2
b
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
⋅
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
⋅
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
=
4
a
c
4
a
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}
图像解法[编辑]
Δ
>
0
{\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}
，则该函数与x轴相交（有两个交点）
Δ
=
0
{\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}
，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
Δ
<
0
{\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}
，则该函数与x轴相离（没有交点）
一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根的几何意义是二次函数
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
的图像（为一条抛物线）与
x
{\displaystyle x}
轴交点的坐标，即二次函数的零点。
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的解是
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
和
y
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}
交點的X座標
另外一种解法是把一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
化为
x
2
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}
的形式。
则方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
的根，就是函数
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
和
y
=
−
b
a
x
−
c
a
{\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}
交点的横坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法[编辑]
在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)
参见[编辑]
方程
三次方程
和平方
差平方
平方差
配方法
参考资料[编辑]
^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. （原始内容存档于2006-02-08） （英语）.
外部連結[编辑]
101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）